Как преподавать математику [2] - о предложении Фурсенко отменить высшую математику в школах

Вроде не было.
Кто не в курсе, напоминаю, что академик Понтрягин - один из крупнейших советских, да и мировых, математиков ХХ века, и совершенно потрясающая личность, сильнейший духом человек (полностью ослеп в 14 лет после взрыва примуса, и тем не менее ... !!! Изучить математику только и исключительно на слух, без записей, без книг, полностью освоить, и быть способным к дальнейшему полнокровному творчеству высшего уровня - казалось бы, немыслимо, но факт!).
Его мнение о школьном обучении ИМХО тем ценнее, что сам он весьма пролетарского происхождения, и заканчивал самую обыкновенную московскую школу в 20-е годы.

К концу 1960-х — началу 1970-х годов в школьной математике начало разрешаться противоречие между необходимой строгостью математических доказательств и их понятностью. Понтрягин занял очень жёсткую позицию по вопросу реформы преподавания математики, в 1980 году он опубликовал в журнале «Коммунист» статью «О математике и качестве её преподавания», фактически прекратившую чрезмерную формализацию («бурбакизацию») школьной математики. Учёный считал, что результат изучения математики в школе — это приобретение важнейших навыков вычислять, владеть геометрическими представлениями, то есть обучение конкретным приёмам, важным для дальнейшей трудовой деятельности. Известны его весьма резкие оценки (он употреблял слово «диверсия») непродуманных реформ преподавания, осуществлявшихся, в частности, А. Н. Колмогоровым.

Понтрягин разбирал случаи того, «как не надо делать»: например, стремление к большей общности при реформировании школьных программ в 1970-е годы и повсеместное употребление «множества» как научного термина выразилось в том, что геометрическая фигура определялась в учебниках как «множество точек».

А так как в теории множеств два множества могут быть равными, лишь полностью совпадая, то слово «равенство» уже не применимо к двум различным треугольникам. Это слово заменяется другим, не свойственным русскому языку, термином «конгруэнтность». Этот термин не употребляется в практике. Никакой строитель не будет говорить о двух «конгруэнтных балках» (или закройщик из ателье о «конгруэнтных кусках ткани»), а будет говорить о равных, или одинаковых балках (кусках ткани)[13].

Заметим здесь, что П. С. Александров употреблял это слово в бытовой речи. Назвал пароход «Олимпик» конгруэнтным «Титанику» (письмо А. Н. Колмогорову от 03.04.1931 г.), а стол, за которым сидел, конгруэнтным и конгруэнтно расположенным на конгруэнтном пароходе (письмо А. Н. Колмогорову от 28.05.1931 г.)[14]

Острое неприятие вызвали у Понтрягина и «гуманитарные эксперименты» в преподавании математики:

Математическое понятие уравнения придумали свести к грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушилось понятие уравнения как «предложения с переменной». Что это значит? Примеры даются в учебнике для четвёртого класса. Так, приводится «предложение»: «Река х впадает в Каспийское море». Далее разъясняют, что если вместо х подставить «Волга», то получится правильное утверждение, и, следовательно, «Волга» есть решение этого уравнения. Если же вместо х подставить «Днепр», то получится неверное утверждение, и потому «Днепр» не является решением этого уравнения[13].

 

Блехман И. И., Мышкис А. Д., Гановко Я. Г.
"Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики", 1990 (первой издание - 1984)
Рецензент академик Н. Н. Моисеев

(по косвенным признакам, к высказанным соображениям достаточно благосклонно или как минимум с пониманием относились такие математики-прикладники, как Ишлинский, Харченко, Н.Н.Моисеев)

---

8. О преподавании математики в средней школе. Хотя этот
параграф посвящен, главным образом, преподаванию математики и
механики во втузах, мы считаем полезным остановиться и на
некоторых проблемах преподавания математики в школе, так как на нем
базируется и институтское образование.
Прежде всего заметим, что вряд ли возможно указать школьную
дисциплину помимо математики, которая бы примерно для
половины обучающихся приносила столь мало пользы — и это при такой
большой затрате времени! У десятков миллионов людей,
избравших областью своей деятельности гуманитарные профессии и сферу
обслуживания (а доля таких людей будет все возрастать), через
несколько лет после окончания школы остаются в памяти только
арифметические действия, простейшие геометрические
представления да смутные воспоминания о рассуждениях, которые полностью
отличаются от применяемых в жизни и ни к чему остальному
решительно не пригодны.

Как можно предотвратить эту бесцельную трату времени?

Думается, только делением школ по профилям (фуркацией) в старших
классах. На первой стадии обучения (скажем, в первых 8 классах),
а также для старших классов, ориентированных на гуманитарные
и т. п. профессии, курс математики и не должен выходить за рамки
арифметических действий, построения и применения простых
формул и графиков, простых геометрических сведений (включая
примеры доказательств) и т. п. С другой стороны, надо усилить
внимание к составлению и решению текстовых задач на доступном
школьникам материале, как имитирующих реальные ситуации, так и
имеющих игровой характер — в том числе направленных на
логическое развитие учащихся. Курс информатики должен быть
достаточно представлен и нацелен на задачи систематизационного
характера.

Остановимся более подробно на курсе математики в старших
(скажем, 9—10) классах, ориентированных на технические и другие
подобные профессии, для которых математика необходима. Здесь,
конечно, этот курс должен быть более серьезным. Однако существу-
ющее состояние преподавания математики представляется
неудовлетворительным.

Главная цель изучения математики широкими слоями учащихся
состоит в том, чтобы математику можно было применять. Здесь
мы имеем в виду применения в самом широком плане: не только на
производстве, но и в других дисциплинах, при чтении специальной
и популярной литературы, в быту и т. д.; кроме того, основные
математические понятия позволяют глубже осмысливать различные
факты, видеть их общие черты; навыки разумной точности могут
помочь формулировать мысли и т. д. Именно эта главная цель
должна определять выбор изучаемого материала и способа его
изложения.

С этих позиций решительные возражения вызывает
существующий аксиоматический курс геометрии. Методы рассуждений здесь
настолько специфичны, что за пределами этого курса никогда не
применяются (даже математиками-специалистами), и огромный труд,
необходимый для овладения ими, оказывается бесплодным.
Никакие методические усовершенствования (например,
распространяемые в последнее время мнемонические правила для запоминания
доказательств никому не нужных утверждений) делу не помогут.
Конечно, геометрическое развитие очень нужно! Но оно куда
быстрее и эффективнее достигается на гораздо более важном и
интересном материале метрической, комбинаторной, начертательной
геометрий. И доказательства в геометрии необходимы, но только
тех фактов, которые без доказательства не очевидны, таких как
теорема Пифагора, теорема о сумме углов треугольника и т. д. Те
же факты, которые легко воспринимаются на интуитивном уровне,
надо не доказывать формально, а закреплять с помощью разумно
подобранных вопросов и упражнений.

Приведем пример. В стабильном учебнике геометрии (впрочем, глубоко
продуманном и последовательном, но находящемся полностью на
аксиоматических позициях) теорема из стереометрии «Две прямые, параллельные
третьей прямой, параллельны» снабжена следующим доказательством: «Пусть
прямые b не параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые а, 6, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в
планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной
плоскости. Пусть р — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, а у — плоскость,
в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (приведен
рисунок.— Авт.). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем
плоскость Yi через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой Ьх.
Прямая Ьх не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения
должна принадлежать прямой а, так как прямая Ьх лежит в плоскости Р*
G другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ьх
лежит в плоскости 7i- Но прямые а и с как параллельные не пересекаются»
Так как прямая Ьх лежит в плоскости р и не пересекает прямую а, то
она параллельна а, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Таким
образом, прямая 6, совпадая с прямой Ь1ч лежит в одной плоскости с прямой с
(з плоскости Yi) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны.
Теорема доказана».

Мы предлагаем читателю разобрать это доказательство, рекомендованное
сейчас всем ученикам 9-го класса. Не лучше ли просто спросить: «Подумайте,
как расположены друг относительно друга две прямые в пространстве, если
они параллельны третьей». «А если перпендикулярны?», «Найдите в классе
примеры таких прямых» и т. п.?


Что касается утверждений, которые учащиеся воспринимают как
совершенно очевидные (например, «Какова бы ни была плоскость,
существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не
принадлежащие ей» — одна из аксиом в стабильном учебнике, или:
«Движение переводит плоскости в плоскости» — теорема оттуда же),
то их даже специально выделять не надо. Какая-либо мотивировка
только затрудняет их понимание.

Иногда говорят, что этот аксиоматический курс нужен для
развития логического мышления. Примерно то же когда-то
говорилось в защиту школьного преподавания латыни. Но здесь можно
повторить слова Л. Д. Ландау о схоластике (с. 289). Конечно,
некоторая часть школьников получает здесь какое-то логическое
развитие, но в целом кпд соответствующих усилий крайне низок.
Логическое развитие может и должно воспитываться, но на
значительно более жизненном материале!

Ради чего же эти бесплодные тяжкие усилия? Неужели для
того, чтобы построить безупречное, но полностью бесполезное
здание? Мы считаем, что здесь просто действует инерция, отсутствие
мужества избавиться от мертвого груза.

Если теперь говорить о том, что должно быть в школьном курсе
математики, то здесь, с соответствующими упрощениями, можно
повторить многое из того, о чем говорилось в связи с втузовским
преподаванием, и потому мы скажем об этом совсем кратко. Так,
достаточное внимание надо уделять составлению и неформальному
обсуждению математических моделей, задачам с неполными или
избыточными данными, методам самоконтроля, применению
справочников и таблиц и т. п. Важное место должна занимать прикидка
(в том числе устная) значений или порядков величин, их точности.
Надо широко внедрять карманные калькуляторы, проводить на них
все вычисления, за исключением самых простых; в частности, это
даст возможность преодолеть дурную традицию «круглых» ответов,
мешающую навыкам приложения математики.

Что касается стиля изложения, то здесь надо идти по пути
разумного компромисса между строгостью, доступностью и
прикладной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон.
Так, понятия, важные для приложений, но не допускающие простой
формализации, следует вводить с помощью наглядного описания
и иллюстрировать примерами. Утверждения стараться приводить
только действительно необходимые или поучительные, причем
доказательства выбирать такими, чтобы они способствовали пониманию
фактов и были убедительными для учащихся (а не для рецензентов).
Утверждения, интуитивно ясные, вряд ли следует снабжать
«официальными» доказательствами: доказательство должно объяснять
причину факта, заранее не очевидного.

Цель логического развития учащегося — не в том, чтобы он
научился доказывать математические теоремы, а в том, чтобы он
в простых ситуациях за пределами математики понимал, что одни
утверждения можно выводить из других, не путал прямые
утверждения с обратными, не пропускал логически возможные случаи
и т. п. И здесь существенную роль могут сыграть специально
подобранные задачи, основанные на доступном материале, как
прикладном, так и «чистом».

Мы думаем, что полезно было бы иметь не один, а несколько
учебников с примерно одинаковым содержанием, но различным
характером изложения, предоставив педагогу право пользоваться ими
по своему усмотрению.

- я бы добавил - и учащемуся тоже. Конечно, сдавать изволь по тому, что преподаватель требует, но чтобы он хоть в руки взял учебник "другой группы крови", если по основному не зашло. Конечно, для школы это совсем низкий выхлоп имеет, полезнее для студентов и старшеклассников спецклассов.


В заключение приведем высказывания известного голландского
математика и методиста Г. Фройденталя по поводу школьного
преподавания математики [328]. Они настолько яркие, что, надеемся,
читатель не посетует на нас за их количество.

(С. 12), автор говорит об ошибке, «...которая часто пронизывает
обучение геометрии: интуитивно ясные вещи доказывают такими
методами и с такими тонкостями, потребности в которых на данной
стадии обучения школьник не ощущает».

(С. 39): «...важно, чтобы изучаемая математика была тесно
связана с реальной действительностью. Только так можно обеспечить
длительное влияние математики на обучающегося. Мы, математики,
не забываем нашу математику, так как это наше основное занятие.
Обычно же все, что не связано с повседневной жизнью,
улетучивается из памяти. Для большинства людей математика не может
быть целью; то из математики, что изучалось без связи с
повседневной жизнью, будет забыто, а потому неэффективно».

- то же самое можно сказать про любую науку вообще.

(С. 69): «Дети учатся вычислять, сколько стоят три фунта
сахара, если задана цена одного фунта; или чему равна площадь
прямоугольника, стороны которого известны. Понятия,
встречающиеся при этом, не входят ни в какие системы аксиом. Применяя
математику, никогда не оглядываются на системы аксиом».

(С. 105—106, в связи с понятием дифференциала): «Студенту
следует обучиться этому уже у преподавателя математики, чтобы не
сидеть с разинутым ртом на лекции по физике; школьник должен
быть подготовлен к этому заранее. Совершенно нетерпимо, когда
математик преподает математику без ее применений, а физик
применяет математические методы, не излагавшиеся математиком...
Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце
прошлого столетия и продолжает расширяться вследствие
современного развития, особенно вследствие проникновения теоретико-
множественной терминологии и новых формулировок в математику.
Если мы, математики, будем все более методично и неэвристично
преподавать математику, то люди, которые ее применяют, станут
сами давать своим ученикам ту математику, которую они считают
нужной».

- что и происходит давно и широко!

(С. 129): «...школьники, обученные хорошо подогнанной и не
связанной с действительностью математике, ничего так не отвергают,
как связанную с действительностью математику, которую они никак
не могут осилить с помощью формальных правил и которая вместо
этого требует от них самостоятельного мышления».
По поводу прикладной направленности преподавания
математики в школе см. также [84, 128, 889].

---

(ранее там же обсуждается преподавание математики студентам инженерного профиля, а
также другим "пользователям" математики, не являющимся чистыми математиками)

История одного заседания

и предыстория - мнение Понтрягина о том, почему Колмогоров стал поворачивать преподавание математики в советской школе туда, куда стал, такой пример своеобразного психоанализа:

---

...

Колмогоров получил своё первоначальное математическое воспитание в школе профессора Н. Н. Лузина. В начале 20-х годов Н. Н. Лузин имел огромное влияние на московских математиков. Ему принадлежит важнейшее нововведение: он обнаружил, что научной работой молодой человек может начать заниматься уже на первых курсах университета. До этого считалось, что прежде чем приступить к научной работе, нужно изучить целую гору книг. По поводу этого педагогического открытия Лузина я хочу высказать один афоризм: Лузин научил математиков научному творчеству, но не научил самой математике. Для того чтобы начать научную работу в самом начале своего обучения математике, приходится ограничиться какой-то очень узкой областью математики.

Той узкой областью математики, в которой Лузин реализовывал своё педагогическое нововведение, была теория множеств. Ученики Лузина подпали под обаяние теории множеств и стали считать её важнейшим новым направлением в области математики. А это мне кажется совершенно неверным. Теория множеств является и не очень новым, и не очень важным разделом математики. Педагогическое открытие Лузина имеет свою оборотную сторону. Молодые люди, в самом начале занявшиеся научной работой в узкой области математики, часто не могут покинуть её и, достигнув уже зрелого возраста, остаются навсегда узкими специалистами, не владеющими в сущности всей математикой или главнейшими разделами её.

Наиболее сильные, конечно, уходят из неё. К числу этих более сильных принадлежал и Колмогоров. Но на всю жизнь он остался под обаянием теории множеств и её идеологии.

Эту теоретико-множественную идеологию он стал внедрять в среднюю школу, где она совершенно неуместна и вредна, так как отодвигает на задний план изучение важнейших навыков вычислять, владение геометрическими представлениями, т.е. конкретные вещи, важные для дальнейшей трудовой деятельности.

Это теоретико-множественное бедствие постигло преподавание математики в средней школе не только в Советском Союзе. Я знаю о том, что такое же явление произошло во Франции, в Англии, в Соединённых Штатах и, вероятно, во многих других странах. Ведущий французский математик Лере резко выступал против теоретико-множественного засилья в средней школе.

Но были и другие причины. О них я хочу рассказать теперь.

Колмогоров очень охотно берётся за всякую новую организационную работу, но очень быстро она ему надоедает, и он передаёт её другим лицам. Именно это произошло при написании новых учебников. Колмогоров принимал участие в написании новых учебников лишь в очень незначительной степени. Потом он передоверил эту работу другим, малоквалифицированным и недобросовестным лицам, которые создали безграмотные отвратительные учебники. Их Колмогоров, вероятно, даже и не просматривал, и они без всякой проверки и апробирования хлынули в средние школы.

...

Ещё одной чертой колмогоровского характера, которая могла помешать успешному проведению улучшения преподавания, является отсутствие у Колмогорова чувства реальности.

...

Столь же нереалистическая идея, совершенно не учитывающая интересы людей, была высказана Колмогоровым во время войны по поводу опасности, грозящей деревянной части Москвы от немецких зажигательных бомб. Колмогоров считал, что немцы сумеют поджечь всю деревянную Москву, и для предотвращения этого бедствия предлагал сломать все деревянные дома, а жителей переселить в квартиры ранее эвакуированных граждан.

Стоит отметить, что некоторые советские власти и правительство Советского Союза не относилось к человеческим интересам так уж пренебрежительно, даже в мелочах. Например, все забранные на хранение у граждан приёмники были в конце войны возвращены в целости, за исключением небольшой части некоторых марок, которые были разобраны для военных целей.

---