Как преподавать математику [2] - о предложении Фурсенко отменить высшую математику в школах

У Ландау была любопытная точка зрения, что математика, весь ее инструментарий — это как отвертки, тестеры и прочие инструменты электромонтера. Поэтому в математике всё надо делать быстро и мгновенно понять, какую отвертку взять. Это не он говорил, это я так понял его точку зрения.

 

В дни, когда происходил мой незабываемый разговор с Ландау, Позняк читал лекции по теории пределов (с использованием известного языка «эпсилон-дельта»). ... Ландау, улыбаясь, спросил, как у меня дела в университете. И я рассказал ему, что на днях доцент Позняк читал нам подряд две лекции по два часа каждая, на которых доказывал теорему Коши о существовании предела у монотонной и ограниченной последовательности. Я не понимал, зачем все эти навороты, и ощущал себя ничтожеством. И вот я спросил у самого Ландау, действительно ли нужно вникать во все детали доказательства довольно очевидных вещей, и как вообще относиться к теории пределов. Такой бурной реакции я не ожидал. Ландау начал горячо возмущаться «тем, что, — по его словам, — продолжают творить математики». При этом он обращался скорее к Лифшицу, чем ко мне. Затем он сказал, обращаясь уже ко мне, примерно так: «Ничего этого не нужно! Из всей теории пределов вам нужно уметь находить пределы различных функций, для этого есть соответствующая техника. Нужно уметь сравнивать скорости различных функций, с которыми они стремятся к заданной точке или к бесконечности. Вообще, вам нужно научиться дифференцировать и интегрировать любые функции, знать их графики. А математический формализм теории пределов, да и многое другое — это „математическая лирика", интересная в основном самим математикам. Они тренируются в логических
упражнениях и обожают наводить тень на плетень с помощью изощренной символики даже там, где все просто и очевидно. К физике это не имеет отношения. Я, — продолжал Ландау, — уже давно хочу написать учебник по высшей математике для физиков. Надо будет поговорить об этом с Петровским6). Надо срочно заняться этим делом». Я потом многократно пересказывал сокурсникам этот свой первый и единственный разговор с Ландау. Много позже в печати были опубликованы «взгляды Ландау на математическое образование физиков...». Е. М. Лифшиц рассказал о них в своей мемуарной статье о Л.Д.Ландау [Воспоминания о..., 1988] и в устной лекции о нем (см. ниже, в Приложении 2). Приведем фрагмент из этой статьи, который взят из письменного ответа Ландау на просьбу сообщить
свое мнение о программах по математике в одном из физических вузов. Вначале Ландау подчеркивает, что эти программы должны составляться с полным учетом требований физических кафедр — тех, кто по своему повседневному опыту научной работы в физике знает, что для этой работы требуется. Далее он пишет: <...> К сожалению, Ваши программы страдают теми же недостатками, какими обычно страдают программы по математике, превращающие изучение математики физиками наполовину в утомительную трату времени. При всей важности математики для физиков физики, как известно, нуждаются в считающей аналитической математике; математики же, по непонятной для меня причине, подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента логические упражнения. <...> Мне кажется, что давно пора обучать физиков тому, что они сами считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их собственному желанию. Мне не хочется дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т. п. Поэтому я не буду останавливаться на многочисленных пунктах Вашей программы, резко противоречащих этой точке зрения. Сделаю только некоторые дополнительные замечания. Векторный анализ расположен в программе между кратными интегралами. Я не имею чего-либо против такого сочетания, однако надеюсь, что оно не идет в ущерб крайне необходимому формальному знанию формул векторного анализа. Программа по рядам особенно перегружена ненужными вещами, в которых тонут те немногие полезные сведения, которые совершенно необходимо знать о ряде и интеграле Фурье. ...

Л.Д.Ландау не успел, но за это дело взялся академик Я. Б. Зельдович, которому помогали математики А. М.Яглом и А. Д. Мышкис. Они «очеловечили» математику (выражение Мышкиса), создав трилогию из превосходных учебных книг: «Высшая математика для начинающих физиков и техников», «Элементы прикладной математики» и «Элементы математической физики». Книги, кстати, не были признаны как учебники Министерством высшего образования, но стали очень популярны среди нематематиков. М

...

Задержусь еще
на некоторых глубинных противоречиях между абстрактной математикой и реальной природой, т. е. физикой, пожалуй, впервые так явно обнажившихся в книгах Зельдовича, в его битве за преподавание физикам и инженерам «реальной», а не схоластической математики. Комментируя книгу «Высшая математика для начинающих», А. Д. Сахаров приводит такое высказывание самого Зельдовича: В одной из статей Зельдович писал: «Так называемые строгие доказательства и определения гораздо более сложны, чем интуитивный подход к производным и интегралам. В результате математические идеи, необходимые для понимания физики, доходят до школьников слишком поздно. Это все равно, что подавать соль и перец не к обеду, а позже, к чаю». Я согласен с ним в этом вопросе [Знакомый..., 1993. С. 151]. Выдающийся математик современности академик В. И.Арнольд пишет: Перечитав «Высшую математику для начинающих», я увидел, как много из того, что математики моего поколения (с трудом и преодолевая огромное сопротивление) пытаются внести в выхолощенное и омертвевшее преподавание нашей науки, уже содержалось в первом же издании учебника ЯБ. Книга начиналась с эпатирующего определения производной как отношения приращений «в предположении, что они достаточно малы». Это кощунственное, с точки зрения ортодоксальной математики, определение «физически», конечно, совершенно оправдано, ибо приращения физической величины меньше, чем, скажем, Ю-100, являются чистейшей фикцией — структура пространства и времени в таких масштабах может оказаться весьма далекой от математического континуума7^.
Но это простое соображение уничтожает столь значительную часть современных математических исследований, что упоминать о нем даже здесь опасно. Тогдашние цензоры математических книг тополог Л. С. Понтрягин и механик Л.И. Седов обрушили на ЯБ поток обвинений, которые ЯБ <...> переживал более болезненно, чем они того заслуживали <...>. Закончилась эта борьба полной победой ЯБ. Л. С. Понтрягин в своем изложении анализа для школьников (1980) пишет: «Многие физики считают, что так называемое строгое определение производных и интегралов не нужно для хорошего понимания дифференциального и интегрального исчисления. Я разделяю их точку зрения». Возвращение преподавания математики от схоластики формально-языковых вычислительных упражнений (будь то дк/дпк-язык Лейбница, е-д-язык теории множеств <...>) к содержательной математике идей и понятий Ньютона, Римана и Пуанкаре — шаг абсолютно необходимый. ЯБ был первым, кто нашел мужество открыто об этом сказать и вовремя осуществить [Знакомый..., 1993. С. 218].

 

Fakir>> Он и аппарата теории вероятности-то не признавал, а ты тут множества суёшь