Как преподавать математику [2] - о предложении Фурсенко отменить высшую математику в школах

ED>ИМХО надо было с того, что это просто скорость изменения функции. И лишь потом...

В таком случае интеграл - это площадь "криволинейной трапеции". Точно, что я и считал.

ED> Определения бывают разными.
? Наверное. Я к тому, что хоть Сергей-4030 и сочиняет объяснение для школьника, его картинка ничем не уступит такой же картинке из ВУЗовских учебников по мат.ану. Риманов интеграл - предел сумм Дарбу, и никаких других определений лично я не знаю. Понятно, можно придраться, что вот нет у Сергея ничего про нижнюю сумму Дарбу, про совпадение их пределов при произвольном разбиении. Но это уже дело десятое. А первое - когда показываешь определенный интеграл, площадь очень даже причем.

>Вот нас в своё время заставляли учить определение производной, со всякими там эпсилонами, лямдами и пр. Но начинать ИМХО надо было с того, что это просто скорость изменения функции. И лишь потом...
Гы, я бы как раз завис на скорости изменения функции. Ибо хде скорость, там и время. А где здесь время? Так что проще рассказать про предел отношения приращения функции к приращению аргУмента.

И вообще ИМХО для становления мировоззрения лучше убить время на то, чтобы красиво и доходчиво заложить ребятёнку в рефлексы понятие/ощущение предела функции.

AidarM>Ибо хде скорость, там и время. А где здесь время?

МГНОВЕННАЯ скорость. Именно отсюда совершенно наглядно вытекает графическое представление как касательной в "точке измерения" и становится понятен смысл стремления приращения аргумента (времени) к нулю.

AidarM> И вообще ИМХО для становления мировоззрения лучше убить время на то, чтобы красиво и доходчиво заложить ребятёнку в рефлексы понятие/ощущение предела функции.

Именно НАГЛЯДНО и доходчиво. Пока есть возможность - грех не пользоваться.

ED> МГНОВЕННАЯ скорость.
Все равно, скорость=быстрота=за некоторое время. Поначалу я тормозил бы страшно, чесслово. Вот крутизну наклона касательной - да, понял бы.

ED> становится понятен смысл стремления приращения аргумента (времени) к нулю.

Смысл приращивания аргумента к нулю более понятен в графике: чтобы многоугольники лучше влезали под кривую.

Сергей-4030> В таком случае интеграл - это площадь "криволинейной трапеции". Точно, что я и считал.

Не. Интеграл - это нахождение той функции (первообразной), взятием производной которой получена ЭТА функция. Нужно показать, что первообразная равна площади криволинейной трапеции "под" заданной функцией. Ну а вот потом можно переходить к МЕТОДАМ вычисления той площади.

AidarM> У, это слишком круто, ИМХО. Я понимаю, что любой плоской фигуре соответствует площадь, т.е. в некоторой системе единиц ей соответствует некоторое вещ.число (площадь), но доказать это ребятёнку не возьмусь. Тем более, что я вовсе не умею брать предел суммы Дарбу (т.е. интеграл) для произвольной функции.

А никто не говорил, что поиск такой ф-ции — лёгкое дело. Построение оператора (неопределённый интеграл) или фунционала (определённый) дело сродни просто построению ф-ции обычной по некоторым свойствам. Задам я ф-цию таблично — как найти формулу?


AidarM> И поскольку я не умею брать интеграл от любой функции, стало быть, не смогу всегда предъявить ту самую существующую функцию. Вообще никому, не то что ребятёнку. Так что выходит, придется при иллюстрациях ограничиться наиболее простейшими функциями.

Айдар, ты потёк мыслей по древу в строгую математику. Сергей с самого начала сказал, что не строго. Именно, простейшие и подойдут. Если вспомнить, как брали интегралы в курсе, то будет понятно, почему каждая группа интегралов представляет собой нехилую теорему, а местами и не одну. Ну и справочники не зря существуют. А есть такие, которые аналитически не беруться.

AidarM> И еще поскольку сумма Дарбу уж очень наглядно иллюстрируется геометрически, возникает зверский соблазн подольше пользоваться геометрией, и лишь в самом конце воспользоваться её числовой "обвязкой". Это в оправдание геометризьма при вычислении интеграла от линейной функции. Я так объяснял 9клашкам пройденный путь при равноускоренном движении.

Дык, для этого геометрия и важна, хотя Факир, местами возникает.

russo>чтобы многоугольники лучше влезали под кривую.

Ещё раз: зачем многоугольники впихивать под кривую?

ED> Не. Интеграл - это нахождение той функции (первообразной), взятием производной которой получена ЭТА функция.

Сергей пытается доходчиво обьяснить девятикласснику что такое интеграл. Девятиклассника на вашем определении перемкнет

ED> Ещё раз: зачем многоугольники впихивать под кривую?

ЧТобы найти площадь под кривой. Потому что интеграл это площадь под кривой.

russo>>чтобы многоугольники лучше влезали под кривую.
ED> Ещё раз: зачем многоугольники впихивать под кривую?

Это не важно. Можно над, можно с пересечениями (в строгом доказательстве есть правила, по которым выбирают точки x_i и значение ф-ции в точке между этими x_i). Строго надо доказывать сходимость. А не строго — я предпочту измерить изнутри не выходя за пределы. ИМХО, чисто интуитивно, понятней.

russo> Сергей пытается доходчиво обьяснить девятикласснику что такое интеграл.

НЕТ! Он доходчиво объясняет девятикласснику КАК ВЫЧИСЛЯТЬ интеграл. В школе, кстати, делали практически так же. ИМХО именно потому проблемы с пониманием ЧТО ТАКОЕ интеграл. Даже самый простой.

Mishka> А никто не говорил, что поиск такой ф-ции — лёгкое дело.
Согласный, но в этом абзаце я объяснял, в чем вижу затык. Если хочется показать ребятенку, что всегда существует некоторая функция(в данном случае от верхнего предела интеграла), дающая нам интеграл, а ребятенка не устраивает соответствие функции - площади, то фиг с ним что сделаешь. То, что площадь всегда существует, как бы очевидно.

> Построение оператора (неопределённый интеграл) или фунционала (определённый) дело сродни просто построению ф-ции обычной по некоторым свойствам. Задам я ф-цию таблично — как найти формулу?
Никак. Вот каждой плоской фигуре под кривой можно сопоставить площадь. Ну и вопрос: нарисовал фигуру - площадь у нее есть, очевидно ребенку? А как ему доказать, что это всегда некоторое конкретное число?

Mishka> Айдар, ты потёк мыслей по древу в строгую математику. Сергей с самого начала сказал, что не строго.
Не, я потек в том смысле, что если бы можно был рецепт вычисления интеграла от любой функции, то можно было бы соображать, как ребятенку его преподнести доходчиво. Это было бы то самое доказательство, желаемое Сергеем. Он ить хочет привязать опр. интеграл к неопр. - убедить, что функция существует. Я его неправильно понял, думал, ему для любой функции надо.

Mishka> Дык, для этого геометрия и важна, хотя Факир, местами возникает.
У Факира могет быть мышление "алгебраическое", а не "геометрическое" как у большинства.

2 ED
Определенный и неопределенный интегралы - принципиально по разному вводятся.

Неопр. - как символ, означающий совокупность всех первообразных. Определенный - как предел интегральной суммы. Интегральная сумма иллюстрируется именно площадью под кривой. Если знаете другое определение, угостите плз. Ибо формально это разные понятия.

AidarM>Определенный - как предел интегральной суммы. Интегральная сумма иллюстрируется именно площадью под кривой.

У меня обратное направление. Определённый интеграл равен площади под кривой. Эта площадь вычисляется как предел интегральной суммы. Разницу видишь?

ED>Эта площадь вычисляется как предел интегральной суммы. Разницу видишь?
Вижу, хотя у вас и неправильно. Хотя бы потому, что площадь - величина существенно неотрицательная. На интересующем нас отрезке функция может менять знак, с соответствующими последствиями для интеграла, отличающимися от последствий для площади.

И уж тем более непонятен ваш вопрос "зачем нам оценивать площадь" Сергею, который как раз сочиняет объяснение определенного интеграла. Площадь - это число, характеризующее фигуру, а не сама фигура. Опр.интеграл(с фикс. пределами и для одномерной ф-ции) - тоже число. Вот как оно характеризует функцию на отрезке, и как это число заиметь, и нуждается в объяснении.

AidarM> И уж тем более непонятен ваш вопрос "зачем нам оценивать площадь" Сергею, который как раз сочиняет объяснение определенного интеграла.

Ну ведь уже писал. Сергей начал вычислять площадь без объяснений о первообразной. Ну или нам не написал об этом.

AidarM> То, что площадь всегда существует, как бы очевидно.

Приколюсь-придерусь  — конечно не всегда. Как и длина или объём. Пример — фракталы. В первом курсе дают понятия спрямляемой кривой. И водят определение длины. Аналогично с площадью и объёмом.

AidarM> Никак. Вот каждой плоской фигуре под кривой можно сопоставить площадь. Ну и вопрос: нарисовал фигуру - площадь у нее есть, очевидно ребенку? А как ему доказать, что это всегда некоторое конкретное число?

Площадь — по определению некое число. Свойство фигур такое. Поэтому я не очень понял, что ты хотел сказать.

AidarM> Не, я потек в том смысле, что если бы можно был рецепт вычисления интеграла от любой функции, то можно было бы соображать, как ребятенку его преподнести доходчиво. Это было бы то самое доказательство, желаемое Сергеем. Он ить хочет привязать опр. интеграл к неопр. - убедить, что функция существует. Я его неправильно понял, думал, ему для любой функции надо.

Не будет так для любой ф-ции. Это понятно, вроде.

AidarM> У Факира могет быть мышление "алгебраическое", а не "геометрическое" как у большинства.
У меня тоже. Но (проклятое но). Для детей, особенно раннего возвраста, конкретное мышление развито намного сильнее абстрактного. Поэтому про алгебраические объяснения всегда можно забыть в качестве массового спора. Тем более, что тут геометрия наипростейшая. Вот абстрактная геометрия — тут надо тоже репу чесать крепко, т.к. оперировать приходится вовсе не понятиями обычного мира.

ED> Не. Интеграл - это нахождение той функции (первообразной), взятием производной которой получена ЭТА функция. Нужно показать, что первообразная равна площади криволинейной трапеции "под" заданной функцией. Ну а вот потом можно переходить к МЕТОДАМ вычисления той площади.

ИМХО, плохо. Вводить надо с площади. А вот потом, в кустах оказывается рояль — первообразная и есть площадь. Начинают-то с определённого интеграла не зря. И объяснить связь между первообразной и её производной, ИМХО, гораздо сложнее.

ED> Ну ведь уже писал. Сергей начал вычислять площадь без объяснений о первообразной. Ну или нам не написал об этом.

Нет у определённого интеграла первообразной. Нет. Это функционал, а не оператор!

Mishka> Приколюсь-придерусь  — конечно не всегда. Как и длина или объём. Пример — фракталы.


>В первом курсе дают понятия спрямляемой кривой. И водят определение длины. Аналогично с площадью и объёмом.
И как это дать школьнику?

Mishka> Площадь — по определению некое число. Свойство фигур такое. Поэтому я не очень понял, что ты хотел сказать.
На случай, если ребятенок не уловит определение. Если есть площадь, и это число, то множество фигур под кривой задаст множество чисел-площадей, а значит, задаст функцию. То бишь, даст решение вопроса:
Сергей-4030>Да, но как проще это дать? Хотелось бы именно перейти от определенного интеграла к неопределенному, показать, что существует функция, которая "считает" площадь.

Mishka> Не будет так для любой ф-ции. Это понятно, вроде.
Вот именно, поэтому я такой рецепт убеждения и отмел. Говорю же, неправильно понял. В вопросе Сергея-4030 я решил, что речь идет о функции, считающей площадь под произвольной кривой на любом отрезке, и нашел повод отбрехаться от пришедшего в голову доказательства-иллюстрации ввиду невозможности интегрировать аналитически - сочинять красивые формулы. Типа ребятенок только такими аналит.формулами убеждается, что функции, считающие интеграл - есть.

Mishka> У меня тоже.
Вроде бы аналогично.

Я, кстати, загнался.

AidarM> А что такое "интеграл вообще"? Конкретно риманов определенный интеграл вводится как предел сумм Дарбу...

Опр.интеграл вводился как предел интегральной суммы при измельчении разбиения. А уж потом доказывался критерий про предел сумм Дарбу. Опять же, если склероз не изменяет.

AidarM> И как это дать школьнику?

Я же сказал, что приколюсь.

AidarM> На случай, если ребятенок не уловит определение. Если есть площадь, и это число, то множество фигур под кривой задаст множество чисел-площадей, а значит, задаст функцию. То бишь, даст решение вопроса:

Вот тут без пределов совсем плохо. Из геометрического рисунка видно, что есть погрешность. С одной стороны, даже понятно, что уменьшая размеры этих прямоугольничков, вроде, уменьшим и погрешность. И предел сумм таких прямоугольничков должен стремиться к площади, а размер ошибок — к 0. Но тут есть попа мелкая, которую, надеемся, школьнички не заметят. Бесконечно большая сумма бесконечно малых может дать в итоге всё, что угодно. Хороший пример — гармонический ряд. Сколько бы ты конечных членов не убрал, всё равно бесконечность. А вот чуточку повысить степень знаменателя (больше 1) и усё.

Хотя, не зря значение ф-ции выбирают не в точки X(i), а в точке (x(i) + X(i+1))/2.

AidarM>> То, что площадь всегда существует, как бы очевидно.
Mishka> Приколюсь-придерусь  — конечно не всегда. Как и длина или объём. Пример — фракталы. В первом курсе дают понятия спрямляемой кривой. И водят определение длины. Аналогично с площадью и объёмом.
А я тоже! ( приколюсь-придерусь ), но... с другой стороны...

Итак, вот так вводят интегралы студентам технических вузов - Курс Савельева: ( аттач )
Типа: вот вы изучили интегралы в школе - так самое время их использовать! Смотрите как то, что вам вводили для равноускоренного движения выглядит на самом деле. Вот как можно использовать площадь!