Как преподавать математику [2] - о предложении Фурсенко отменить высшую математику в школах

Великий, ужасный и злобный Арнольд.

---

...

В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).

Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам --- и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.

Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с физикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Ясно, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры (в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа сомножителей). Четные же числа с этой сектантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем ввести в теорию, пополнив ее (уступая потребностям физики и реального мира) некоторыми "идеальными" объектами.


...

Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в виде суммы четырех квадратов, и истинным движением маятника.

Эти открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходства восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии.

Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего.

Дегеометризация математического образования и развод с физикой разрывает эти связи. Например, не только студенты, но и современные алгебраические геометры в большинстве своем не знают об упомянутом здесь Якоби факте: эллиптический интеграл первого рода выражает время движения вдоль эллиптической фазовой кривой в соответствующей гамильтоновой динамической системе.

Перефразируя известные слова об электроне и атоме, можно сказать, что гипоциклоида столь же неисчерпаема, как идеал в кольце многочленов. Но учить идеалам студентов, никогда не видевших гипоциклоиды, столь же нелепо, как учить складывать дроби детей, никогда не разрезавших (хотя бы мысленно) на равные доли ни яблоко, ни пирог. Неудивительно, что дети предпочтут складывать числитель с числителем и знаменатель со знаменателем.


...

Схема построения математической теории совершенно такая же, как в любой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).

В результате мы по возможности четко формулируем сделанное эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После этого наступает трудный период проверки того, насколько надежны полученные заключения.

Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "аксиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими "фактами" по правилам формальной логики, объявляя "теоремами" все то, что из них можно вывести.

Понятное дело, что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно.

...



Не говоря уже об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляциями). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего --- примерами), то уже через какой-нибудь десяток страниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в числители.

Технология борьбы с подобными ошибками --- такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить школьников младших классов.

Попытки создания "чистой" дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение --- модель --- исследование модели --- выводы --- проверка наблюдениями) и замена ее схемой: определение --- теорема --- доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение натуральных чисел при помощи правила умножения "столбиком". Коммутативность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и ее доказательство можно затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие определения, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут.

Понять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстроенных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику --- сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.

Раскрою еще несколько подобных секретов (в интересах несчастных студентов).

Определитель матрицы --- это (ориентированный) объем параллелепипеда, ребра которого --- ее столбцы. Если сообщить студентам эту тайну (тщательно скрываемую в выхолощенном алгебраическом преподавании), то вся теория детерминантов становится понятной главой теории полилинейных форм. Если же определять детерминанты иначе, то у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции.

Что такое группа? Алгебраисты учат, будто это множество с двумя операциями, удовлетворяющими куче легко забываемых аксиом. Это определение вызывает естественный протест: зачем разумному человеку такие пары операций? ( - F.) "Да пропади она пропадом, эта математика" --- заключает студент (делающийся в будущем, возможно, министром науки).

Положение становится совершенно иным, если начать не с группы, а с понятия преобразования (взаимно-однозначного отображения множества в себя), как это и было исторически. Набор преобразований какого-либо множества называется группой, если вместе с любыми двумя преобразованиями он содержит результат их последовательного применения, а вместе с каждым преобразованием --- обратное преобразование.

Вот и все определение --- так называемые "аксиомы" --- это на самом деле (очевидные) свойства групп преобразований. То, что аксиоматизаторы называют "абстрактными группами" --- это просто группы преобразований различных множеств, рассматриваемые с точностью до изоморфизма (взаимно-однозначного отображения, сохраняющего операции). Никаких "более абстрактных" групп в природе не существует, как это доказал Кэли. Зачем же алгебраисты до сих пор мучают студентов абстрактным определением?

Между прочим, в 1960-е годы я преподавал теорию групп московским школьникам. Избегая аксиоматики и оставаясь возможно ближе к физике, я за полгода дошел до теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах (научив школьников попутно комплексным числам, римановым поверхностям, фундаментальным группам и группам монодромии алгебраических функций). Этот курс впоследствии был опубликован одним из слушателей, В. Алексеевым, в виде книги "Теорема Абеля в задачах".

Что такое гладкое многообразие? В недавней американской книге я прочел, что Пуанкаре не был знаком с этим (введенным в математику им самим) понятием, и что "современное" определение дано лишь в конце 1920-х годов Ве**еном: многообразие --- это топологические пространство, удовлетворяющее длинному ряду аксиом.

За какие грехи вынуждены студенты продираться через все эти ухищрения? На самом деле в Analysis Situs Пуанкаре имеется совершенно явное определение гладкого многообразия, которое гораздо полезнее "абстрактного".


- Людей, по (видимо) имманентной, врождённой, структуре мышления или характера склонных к аксиоматическому стилю - вероятно, меньшинство, причём подавляющее. Однако среди профессиональных математиков и, в особенности, преподавателей математики - похоже, большинство, причём также подавляющее.


...

Именно эта замечательная теорема (утверждающая, например, что всякая компактная связная ориентируемая поверхность --- это сфера с некоторым числом ручек) дает правильное представление о том, что такое современная математика, а вовсе не сверхабстрактные обобщения наивных подмногообразий евклидова пространства, не дающие на самом деле ничего нового и выдаваемые аксиоматизаторами за достижения.

Теорема о классификации поверхностей --- математическое достижение высшего класса, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских лучей. Это настоящее открытие математического естествознания, и даже трудно сказать, принадлежит ли сам факт математике или физике. По своему значению и для приложений, и для выработки правильного мировоззрения он далеко превосходит такие "достижения" математики, как решение проблемы Ферма или доказательство того, что всякое достаточно большое целое число представляется в виде суммы трех простых чисел.

Ради рекламы современные математики иногда выдают подобные спортивные достижения за последнее слово своей науки. Понятно, что это не только не способствует высокой оценке математики обществом, а, напротив, вызывает здоровое недоверие к необходимости затраты усилий на занятия (типа скалолазания) этими экзотическими и неизвестно зачем и кому нужными вопросами.

...

"Устарелый" курс Эрмита столетней давности (вероятно, выкинутый ныне из студенческих библиотек французских университетов) был гораздо современнее, чем те скучнейшие учебники анализа, которыми теперь мучают студентов.

Если математики не образумятся сами, то потребители, сохранившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.

Преподаватель математики, не одолевший хотя бы части томов курса Ландау и Лифшица, станет тогда таким же ископаемым, как сейчас --- не знающий разницы между открытым и замкнутым множеством.

---

Ян Стюарт, "Концепции современной математики", 1980 (английское издание 1975)

---

Когда-то давным-давно родители могли помогать своим детям
делать уроки. «Модернизация» школьного курса математик!
сильно уменьшила эту возможность; родителям, которые вс
же не захотят отказаться от таких намерений, придется самим
осваивать массу нового материала, который будет казаться ИМ|
как правило, странным и ненужным. Один мой друг — учи
тель — рассказывал, что его ученики шумно требовали, чтобы
их учили «настоящей математике,— той, которой учили их мам
и пап». Этот интересный факт, кстати, проливает дополнитель-
ный свет на то, как у детей формируются мнения. Многие учи-
теля тоже считают, что научиться математике нового стил
очень трудно.

И это весьма печально. Новые программы по математик»
вводились с целью содействовать лучшему пониманию этого
предмета взамен бездумного манипулирования символам!
Ведь настоящий математик работает не с числами, а с
поня тиями.



Интуиция и формализм

Тенденция ко все большей общности сопровождается
ростом требований, предъявляемых к логической строго-
сти. Евклида теперь критикуют за отсутствие в его систе-
ме аксиомы о том, что всякая прямая, проходящая через
точку внутри треугольника, должна где-то пересечь тре-
угольник. Эйлерово определение функции как «кривой,
свободно проведенной от руки» портит математикам всю
игру и страдает к тому же неопределенностью (что такое
«кривая»?). Однако в заботе о логической безупречности
легко хватить через край, заменив словесные рассужде-
ния потоком логических символов и слепым применением
стандартных приемов. В этом направлении можно далеко
зайти (а тут и не слишком далеко — уже весьма далеко)
и вместо того, чтобы углубить понимание, начисто его
утратить.

В то же время требование большей строгости — не
пустая прихоть. Чем сложнее и обширнее становится
предмет, тем важнее выработать критический подход к
нему. Социолог, пытающийся осмыслить массив стати-
стических данных, вынужден отказаться от тех из них,
которые получены в результате недобросовестных экспе-
риментов или сомнительных выводов. То же происходит
и в математике. Слишком часто «очевидное» оказыва-
лось неверным. Существуют геометрические фигуры, не
имеющие площади. Согласно Банаху и Тарскому 2, мож-
но разрезать круг на пять частей и сложить из них два
круга того же размера, что исходный. С точки зрения по-
нятия площади это невозможно, но дело в том, что эти
части не имеют площади.

Логическая строгость оказывает сдерживающее воз-
действие, неоценимое в опасных обстоятельствах, а так-
же тогда, когда речь идет о тонкостях. Существуют тео-
ремы, в справедливости которых убеждены большинство
математиков, и тем не менее, пока их кто-нибудь не дока-
жет, они останутся необоснованными предположения-
ми и могут применяться только в роли предположений.
Особое внимание к строгости необходимо при доказа-
тельстве невозможности чего-либо. То, что невозможно
сделать одним способом, иногда легко выполнить другим,
поэтому на всех этапах такого рода доказательств тре-
буется большая аккуратность. Существуют доказатель-
ства неразрешимости в радикалах уравнений пятой сте-
пени и доказательства невозможности трисекции угла
при помощи циркуля и линейки. Это важные теоремы,
так как они перекрывают пути бесполезных изысканий.
Но если нам нужна уверенность в том, что подобные
поиски действительно бесплодны, наша логика должна
быть безупречной.

Доказательства невозможности весьма характерны
для математики. Ведь это, пожалуй, единственный'пред-
мет, который полностью отдает себе отчет в сеоих огра-
ничениях. Временами это становится наваждением, и
люди тратят больше сил на то, чтобы доказать невозмож-
ность какого-то построения, чем на то, чтобы найти спо-
соб его выполнить! Если бы самопознание было добро-
детелью, математики могли бы образовать племя святых.



Однако логика — это еще не все. Никакая формула
сама по себе никогда еще ничего не подсказала. Логика
может применяться для решения задач, но она не под-
скажет нам, какие задачи стоит решать. Никому еще не
удалось формализовать значение. Чтобы понять, что
имеет значение, а что нет, требуется опыт, а еще то труд-
но определимое качество интеллекта, которое называют
интуицией.

Я не могу объяснить, что я сам понимаю под интуи-
цией. Просто это то, чем живет настоящий математик
(или физик, инженер, поэт). Интуиция позволяет ему
«ощущать» свой предмет, видеть, что теорема верна, еще
не зная ее формального доказательства, а потом приду-
мывать это доказательство.

Практически каждый человек в какой-то мере обла-
дает математической интуицией. Ею наделен ребенок,
складывающий картинку из кубиков, ею обладает вся-
кий, кому удалось уложить вещи в багажник автомобиля,
перед тем как всей семьей отправиться на нем в отпуск.
Главной целью подготовки математиков следовало бы
сделать оттачивание их интуиции до такой степени, что-
бы она превратилась в управляемое орудие исследо-
вания.

Много бумаги истрачено на споры о преимуществе
строгости перед интуицией и, наоборот, интуиции перед
строгостью. Обе эти крайности бьют мимо цели: вся сила
математики — в разумном сочетании интуиции и строго-
сти. Контролируемый дух и вдохновенная логика! Все мы
знаем людей блестящих способностей, идеи которых ни-
когда не воплощались в конкретные результаты, и дру-
гих — организованных и аккуратных, которые так и не
создали ничего стоящего, потому что были слишком за-
няты тем, чтобы все было аккуратно и организованно.
Надо избегать обеих крайностей.

О картинках

При изучении математики психологический аспект
часто важнее логического. Мне приходилось присутство-
вать на лекциях, в которых все было потрясающе логич-
но, но слушатели ничего не понимали. Интуитивные со-
ображения должны выступать первыми и лишь потом
подкрепляться формальным доказательством. Интуитив-
ные рассуждения позволяют нам понять, почему должна
быть верной та или иная теорема, а затем уже при помо-
щи прочных логических обоснований можно убедиться,
что она действительно справедлива.

В последующих главах я буду стараться подчеркивать
интуитивную сторону математики. Вместо строгих дока-
зательств я попытаюсь дать читателю представление о
лежащих в их основе идеях. В хороших учебниках долж-
но было бы быть и то, и другое, но, к сожалению, лишь
немногие из них отвечают этому идеалу.

Некоторые математики, может быть 10 из 100, мыслят
формулами. Такова их интуиция. Но остальные мыслят
образами: их интуиция геометрическая. Картинки несут
гораздо больше информации, чем слова. В течение мно-
гих лет школьников отучали пользоваться картинками,
потому что «они не строгие». Это печальное недоразуме-
ние. Да, они не строгие, но они помогают думать, а тако-
го рода помощью никогда не следует пренебрегать.

...

Геометрия в стиле Евклида (а до недавнего времени
только с ней и сталкивалось большинство людей) не одо-
бряет обращения к картинкам и пользуется вместо этого
высокопарными рассуждениями по существу алгебраиче-
ского характера, основанными на понятии конгруэнтно-
сти треугольников. В итоге все геометрические идеи
сводятся к свойствам треугольников.

Понятие конгруэнтности достаточно наглядно: два
треугольника конгруэнтны, если они одинаковой формы и
одного размера. Однако дети часто находят трудными те
рассуждения с конгруэнтными треугольниками, которые
применяются для доказательства теорем. Первая «труд-
ная» теорема евклидовой геометрии стала камнем пре-
ткновения как раз из-за сложных манипуляций конгру-
энтными треугольниками в ее доказательстве. (Были и
другие проблемы: в 50-е годы 18 в. от школьников требо-
валось не только воспроизводить доказательства самого
Евклида, но и пользоваться его обозначениями на
чертежах.)

Оказывается, у Евклида были веские причины избе-
гать картинок. Его переполняло желание вывести всю
геометрию чисто логически из нескольких простых основ-
ных принципов. Правда, позднее в его логике обнаружи-
лись пробелы, но их удалось заполнить. Однако боль-
шинство детей не способны оценить эту жажду строгих
доказательств. При занятиях математикой на любом
уровне за «логически строгое» принимается то, что
«убеждает», хотя, конечно, требуется немало работы,
чтобы «убедить» профессионального логика! Значитель-
ная часть обучения математике состоит в том, чтобы
выявить дефекты вполне убедительных на вид рассужде-
ний и показать ученику, что они не должны его убеждать.
Если мы хотим научить детей геометрии, нам придется
либо снизойти до таких доказательств, которые они най-
дут приемлемыми, либо быть готовыми потратить много
времени на усовершенствование их критического мышле-
ния, причем в последнем случае больше пользы, возмож-
но, принесет не курс геометрии, а курс логики!

Однако объяснять ребенку доказательство, которое
лишь выглядит убедительным, а потом оказывается в
корне неверным, — очень вредно. Это только выработает
замешательство и недоверие. Нужны такие способы
убеждения, которые позднее удастся превратить в стро-
гие доказательства. Примером того, что я имею в виду,
служит приведенный выше рисунок. Его можно превра-
тить в строгое доказательство теоремы Пифагора, после
того как будет разработано понятие площади. Иными
словами, математика должна отражать интуицию.
Евклид (кто бы он ни был), несомненно, обладал
сильно развитой геометрической интуицией, иначе его
книга никогда не была бы написана. Но он не владел еще
средствами, пригодными для прямого выражения его
интуитивных идей. И тогда с гениальной изобретатель-
ностью он пустил в ход атрибуты конгруэнтности и т. д.
Теперь такие средства есть. Появившись в математике
19-го в., они проникли сейчас в новые школьные програм-
мы под названием «геометрия преобразований» или «гео-
метрия движений».

---

Пожалуй, я и так слишком увлёкся цитированием, а Стюарта хочется цитировать почти безостановочно.

«Классики» и «романтики» — издавна делили лекторов на две такие условные группы. Первые–сдержанны, даже сухи, всегда точны в формулировках, фразы их отточены, материал продуман до деталей. Вторые — прежде всего вдохновенные импровизаторы. Но вот какая деталь: запиши лекции «классика» на магнитофонную пленку, затем расшифруй — получишь учебник. Вроде бы и хорошо — здесь все необходимое. Но есть учебник и есть лекции. Неужели студенты больше ничего не ждут от занятия, как только сведений, сведений, сведений…

У Лузина никогда не было заранее предписанной формы изложения. И его лекции ни в коем случае не могли служить образцом для подражания. Да их и не повторить никому другому, даже сам Николай Николаевич, попроси его, пожалуй, не осилил бы такую задачу. Но у него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актер, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами. Он умел приводить студентов в соприкосновение с собственной математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Приглашал к совместной духовной деятельности, к сотворчеству.

 

"...сосуд она, в котором пустота, который надо наполнить, или факел, который надо зажечь?"

---

В психологическом отношении Н. Н. Лузин был исключительно интересной и нетривиальной личностью. Будучи гимназистом, он отличался полнейшей неспособностью к математике. Отец Коли нанял репетитора, студента Томского политехнического института, имя которого, мне, к сожалению, неизвестно. Репетитор вскоре понял, что натаскать несчастного ребенка на решение типовых задач ему не удастся, и избрал другую стратегию. Он предложил мальчику решить не очень сложную задачку, не имеющую отношения к школьной программе, предупредив, что это задание необязательное, но интересное. Его можно выполнять, а можно и не выполнять. И за невыполненное задание никто ругать не будет.

Мальчик решил задачу, и репетитор дал ему другую. Она тоже была решена. А затем Коля сам попросил студента дать ему новую задачку... Вместо того чтобы добросовестно готовиться к освоению премудростей школьной программы, гимназист и студент занимались какой-то чепухой. Но произошло чудо: мальчик, считавшийся неспособным, начал делать успехи на гимназических уроках математики. А затем избрал математику своей профессией и стал ученым с мировым именем.

Эта история показывает, что выдающиеся способности формируются не сами по себе, а благодаря работе положительной обратной связи: чем больше человек занимается той или иной деятельностью, тем лучше это у него получается и тем больше ему хочется этой деятельностью заниматься. Репетитор, который понял это уже в конце XIX века, имеет все основания называться выдающимся психологом и педагогом.

- ну слово только неудачное; явно же, что тут способности не столько формируются, сколько проявляются.

Стиль работы Н. Н. Лузина был не таким, как у большинства математиков. Он выносил на суд научной общественности не только конечные результаты своих трудов в виде строго доказанных теорем, но и промежуточные результаты в виде гипотез. В трудах Лузина встречаются такие «неуместные» выражения, как «Мне кажется...». «Ему кажется, а мне не кажется», — сердито писал в рецензии на работу Лузина его коллега. Интересно, что в отличие от других советских математиков Н. Н. Лузин был избран в АН СССР не по физико-математическому отделению, а по отделению философии.

---