Как преподавать математику [2] - о предложении Фурсенко отменить высшую математику в школах

Вроде не было.
Кто не в курсе, напоминаю, что академик Понтрягин - один из крупнейших советских, да и мировых, математиков ХХ века, и совершенно потрясающая личность, сильнейший духом человек (полностью ослеп в 14 лет после взрыва примуса, и тем не менее ... !!! Изучить математику только и исключительно на слух, без записей, без книг, полностью освоить, и быть способным к дальнейшему полнокровному творчеству высшего уровня - казалось бы, немыслимо, но факт!).
Его мнение о школьном обучении ИМХО тем ценнее, что сам он весьма пролетарского происхождения, и заканчивал самую обыкновенную московскую школу в 20-е годы.

К концу 1960-х — началу 1970-х годов в школьной математике начало разрешаться противоречие между необходимой строгостью математических доказательств и их понятностью. Понтрягин занял очень жёсткую позицию по вопросу реформы преподавания математики, в 1980 году он опубликовал в журнале «Коммунист» статью «О математике и качестве её преподавания», фактически прекратившую чрезмерную формализацию («бурбакизацию») школьной математики. Учёный считал, что результат изучения математики в школе — это приобретение важнейших навыков вычислять, владеть геометрическими представлениями, то есть обучение конкретным приёмам, важным для дальнейшей трудовой деятельности. Известны его весьма резкие оценки (он употреблял слово «диверсия») непродуманных реформ преподавания, осуществлявшихся, в частности, А. Н. Колмогоровым.

Понтрягин разбирал случаи того, «как не надо делать»: например, стремление к большей общности при реформировании школьных программ в 1970-е годы и повсеместное употребление «множества» как научного термина выразилось в том, что геометрическая фигура определялась в учебниках как «множество точек».

А так как в теории множеств два множества могут быть равными, лишь полностью совпадая, то слово «равенство» уже не применимо к двум различным треугольникам. Это слово заменяется другим, не свойственным русскому языку, термином «конгруэнтность». Этот термин не употребляется в практике. Никакой строитель не будет говорить о двух «конгруэнтных балках» (или закройщик из ателье о «конгруэнтных кусках ткани»), а будет говорить о равных, или одинаковых балках (кусках ткани)[13].

Заметим здесь, что П. С. Александров употреблял это слово в бытовой речи. Назвал пароход «Олимпик» конгруэнтным «Титанику» (письмо А. Н. Колмогорову от 03.04.1931 г.), а стол, за которым сидел, конгруэнтным и конгруэнтно расположенным на конгруэнтном пароходе (письмо А. Н. Колмогорову от 28.05.1931 г.)[14]

Острое неприятие вызвали у Понтрягина и «гуманитарные эксперименты» в преподавании математики:

Математическое понятие уравнения придумали свести к грамматическому понятию предложения. На бедные детские головы обрушилось понятие уравнения как «предложения с переменной». Что это значит? Примеры даются в учебнике для четвёртого класса. Так, приводится «предложение»: «Река х впадает в Каспийское море». Далее разъясняют, что если вместо х подставить «Волга», то получится правильное утверждение, и, следовательно, «Волга» есть решение этого уравнения. Если же вместо х подставить «Днепр», то получится неверное утверждение, и потому «Днепр» не является решением этого уравнения[13].

 

Блехман И. И., Мышкис А. Д., Гановко Я. Г.
"Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложений математики", 1990 (первой издание - 1984)
Рецензент академик Н. Н. Моисеев

(по косвенным признакам, к высказанным соображениям достаточно благосклонно или как минимум с пониманием относились такие математики-прикладники, как Ишлинский, Харченко, Н.Н.Моисеев)

---

8. О преподавании математики в средней школе. Хотя этот
параграф посвящен, главным образом, преподаванию математики и
механики во втузах, мы считаем полезным остановиться и на
некоторых проблемах преподавания математики в школе, так как на нем
базируется и институтское образование.
Прежде всего заметим, что вряд ли возможно указать школьную
дисциплину помимо математики, которая бы примерно для
половины обучающихся приносила столь мало пользы — и это при такой
большой затрате времени! У десятков миллионов людей,
избравших областью своей деятельности гуманитарные профессии и сферу
обслуживания (а доля таких людей будет все возрастать), через
несколько лет после окончания школы остаются в памяти только
арифметические действия, простейшие геометрические
представления да смутные воспоминания о рассуждениях, которые полностью
отличаются от применяемых в жизни и ни к чему остальному
решительно не пригодны.

Как можно предотвратить эту бесцельную трату времени?

Думается, только делением школ по профилям (фуркацией) в старших
классах. На первой стадии обучения (скажем, в первых 8 классах),
а также для старших классов, ориентированных на гуманитарные
и т. п. профессии, курс математики и не должен выходить за рамки
арифметических действий, построения и применения простых
формул и графиков, простых геометрических сведений (включая
примеры доказательств) и т. п. С другой стороны, надо усилить
внимание к составлению и решению текстовых задач на доступном
школьникам материале, как имитирующих реальные ситуации, так и
имеющих игровой характер — в том числе направленных на
логическое развитие учащихся. Курс информатики должен быть
достаточно представлен и нацелен на задачи систематизационного
характера.

Остановимся более подробно на курсе математики в старших
(скажем, 9—10) классах, ориентированных на технические и другие
подобные профессии, для которых математика необходима. Здесь,
конечно, этот курс должен быть более серьезным. Однако существу-
ющее состояние преподавания математики представляется
неудовлетворительным.

Главная цель изучения математики широкими слоями учащихся
состоит в том, чтобы математику можно было применять. Здесь
мы имеем в виду применения в самом широком плане: не только на
производстве, но и в других дисциплинах, при чтении специальной
и популярной литературы, в быту и т. д.; кроме того, основные
математические понятия позволяют глубже осмысливать различные
факты, видеть их общие черты; навыки разумной точности могут
помочь формулировать мысли и т. д. Именно эта главная цель
должна определять выбор изучаемого материала и способа его
изложения.

С этих позиций решительные возражения вызывает
существующий аксиоматический курс геометрии. Методы рассуждений здесь
настолько специфичны, что за пределами этого курса никогда не
применяются (даже математиками-специалистами), и огромный труд,
необходимый для овладения ими, оказывается бесплодным.
Никакие методические усовершенствования (например,
распространяемые в последнее время мнемонические правила для запоминания
доказательств никому не нужных утверждений) делу не помогут.
Конечно, геометрическое развитие очень нужно! Но оно куда
быстрее и эффективнее достигается на гораздо более важном и
интересном материале метрической, комбинаторной, начертательной
геометрий. И доказательства в геометрии необходимы, но только
тех фактов, которые без доказательства не очевидны, таких как
теорема Пифагора, теорема о сумме углов треугольника и т. д. Те
же факты, которые легко воспринимаются на интуитивном уровне,
надо не доказывать формально, а закреплять с помощью разумно
подобранных вопросов и упражнений.

Приведем пример. В стабильном учебнике геометрии (впрочем, глубоко
продуманном и последовательном, но находящемся полностью на
аксиоматических позициях) теорема из стереометрии «Две прямые, параллельные
третьей прямой, параллельны» снабжена следующим доказательством: «Пусть
прямые b не параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые а, 6, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в
планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной
плоскости. Пусть р — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, а у — плоскость,
в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (приведен
рисунок.— Авт.). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем
плоскость Yi через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой Ьх.
Прямая Ьх не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения
должна принадлежать прямой а, так как прямая Ьх лежит в плоскости Р*
G другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ьх
лежит в плоскости 7i- Но прямые а и с как параллельные не пересекаются»
Так как прямая Ьх лежит в плоскости р и не пересекает прямую а, то
она параллельна а, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Таким
образом, прямая 6, совпадая с прямой Ь1ч лежит в одной плоскости с прямой с
(з плоскости Yi) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны.
Теорема доказана».

Мы предлагаем читателю разобрать это доказательство, рекомендованное
сейчас всем ученикам 9-го класса. Не лучше ли просто спросить: «Подумайте,
как расположены друг относительно друга две прямые в пространстве, если
они параллельны третьей». «А если перпендикулярны?», «Найдите в классе
примеры таких прямых» и т. п.?


Что касается утверждений, которые учащиеся воспринимают как
совершенно очевидные (например, «Какова бы ни была плоскость,
существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не
принадлежащие ей» — одна из аксиом в стабильном учебнике, или:
«Движение переводит плоскости в плоскости» — теорема оттуда же),
то их даже специально выделять не надо. Какая-либо мотивировка
только затрудняет их понимание.

Иногда говорят, что этот аксиоматический курс нужен для
развития логического мышления. Примерно то же когда-то
говорилось в защиту школьного преподавания латыни. Но здесь можно
повторить слова Л. Д. Ландау о схоластике (с. 289). Конечно,
некоторая часть школьников получает здесь какое-то логическое
развитие, но в целом кпд соответствующих усилий крайне низок.
Логическое развитие может и должно воспитываться, но на
значительно более жизненном материале!

Ради чего же эти бесплодные тяжкие усилия? Неужели для
того, чтобы построить безупречное, но полностью бесполезное
здание? Мы считаем, что здесь просто действует инерция, отсутствие
мужества избавиться от мертвого груза.

Если теперь говорить о том, что должно быть в школьном курсе
математики, то здесь, с соответствующими упрощениями, можно
повторить многое из того, о чем говорилось в связи с втузовским
преподаванием, и потому мы скажем об этом совсем кратко. Так,
достаточное внимание надо уделять составлению и неформальному
обсуждению математических моделей, задачам с неполными или
избыточными данными, методам самоконтроля, применению
справочников и таблиц и т. п. Важное место должна занимать прикидка
(в том числе устная) значений или порядков величин, их точности.
Надо широко внедрять карманные калькуляторы, проводить на них
все вычисления, за исключением самых простых; в частности, это
даст возможность преодолеть дурную традицию «круглых» ответов,
мешающую навыкам приложения математики.

Что касается стиля изложения, то здесь надо идти по пути
разумного компромисса между строгостью, доступностью и
прикладной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон.
Так, понятия, важные для приложений, но не допускающие простой
формализации, следует вводить с помощью наглядного описания
и иллюстрировать примерами. Утверждения стараться приводить
только действительно необходимые или поучительные, причем
доказательства выбирать такими, чтобы они способствовали пониманию
фактов и были убедительными для учащихся (а не для рецензентов).
Утверждения, интуитивно ясные, вряд ли следует снабжать
«официальными» доказательствами: доказательство должно объяснять
причину факта, заранее не очевидного.

Цель логического развития учащегося — не в том, чтобы он
научился доказывать математические теоремы, а в том, чтобы он
в простых ситуациях за пределами математики понимал, что одни
утверждения можно выводить из других, не путал прямые
утверждения с обратными, не пропускал логически возможные случаи
и т. п. И здесь существенную роль могут сыграть специально
подобранные задачи, основанные на доступном материале, как
прикладном, так и «чистом».

Мы думаем, что полезно было бы иметь не один, а несколько
учебников с примерно одинаковым содержанием, но различным
характером изложения, предоставив педагогу право пользоваться ими
по своему усмотрению.

- я бы добавил - и учащемуся тоже. Конечно, сдавать изволь по тому, что преподаватель требует, но чтобы он хоть в руки взял учебник "другой группы крови", если по основному не зашло. Конечно, для школы это совсем низкий выхлоп имеет, полезнее для студентов и старшеклассников спецклассов.


В заключение приведем высказывания известного голландского
математика и методиста Г. Фройденталя по поводу школьного
преподавания математики [328]. Они настолько яркие, что, надеемся,
читатель не посетует на нас за их количество.

(С. 12), автор говорит об ошибке, «...которая часто пронизывает
обучение геометрии: интуитивно ясные вещи доказывают такими
методами и с такими тонкостями, потребности в которых на данной
стадии обучения школьник не ощущает».

(С. 39): «...важно, чтобы изучаемая математика была тесно
связана с реальной действительностью. Только так можно обеспечить
длительное влияние математики на обучающегося. Мы, математики,
не забываем нашу математику, так как это наше основное занятие.
Обычно же все, что не связано с повседневной жизнью,
улетучивается из памяти. Для большинства людей математика не может
быть целью; то из математики, что изучалось без связи с
повседневной жизнью, будет забыто, а потому неэффективно».

- то же самое можно сказать про любую науку вообще.

(С. 69): «Дети учатся вычислять, сколько стоят три фунта
сахара, если задана цена одного фунта; или чему равна площадь
прямоугольника, стороны которого известны. Понятия,
встречающиеся при этом, не входят ни в какие системы аксиом. Применяя
математику, никогда не оглядываются на системы аксиом».

(С. 105—106, в связи с понятием дифференциала): «Студенту
следует обучиться этому уже у преподавателя математики, чтобы не
сидеть с разинутым ртом на лекции по физике; школьник должен
быть подготовлен к этому заранее. Совершенно нетерпимо, когда
математик преподает математику без ее применений, а физик
применяет математические методы, не излагавшиеся математиком...
Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце
прошлого столетия и продолжает расширяться вследствие
современного развития, особенно вследствие проникновения теоретико-
множественной терминологии и новых формулировок в математику.
Если мы, математики, будем все более методично и неэвристично
преподавать математику, то люди, которые ее применяют, станут
сами давать своим ученикам ту математику, которую они считают
нужной».

- что и происходит давно и широко!

(С. 129): «...школьники, обученные хорошо подогнанной и не
связанной с действительностью математике, ничего так не отвергают,
как связанную с действительностью математику, которую они никак
не могут осилить с помощью формальных правил и которая вместо
этого требует от них самостоятельного мышления».
По поводу прикладной направленности преподавания
математики в школе см. также [84, 128, 889].

---

(ранее там же обсуждается преподавание математики студентам инженерного профиля, а
также другим "пользователям" математики, не являющимся чистыми математиками)

История одного заседания

и предыстория - мнение Понтрягина о том, почему Колмогоров стал поворачивать преподавание математики в советской школе туда, куда стал, такой пример своеобразного психоанализа:

---

...

Колмогоров получил своё первоначальное математическое воспитание в школе профессора Н. Н. Лузина. В начале 20-х годов Н. Н. Лузин имел огромное влияние на московских математиков. Ему принадлежит важнейшее нововведение: он обнаружил, что научной работой молодой человек может начать заниматься уже на первых курсах университета. До этого считалось, что прежде чем приступить к научной работе, нужно изучить целую гору книг. По поводу этого педагогического открытия Лузина я хочу высказать один афоризм: Лузин научил математиков научному творчеству, но не научил самой математике. Для того чтобы начать научную работу в самом начале своего обучения математике, приходится ограничиться какой-то очень узкой областью математики.

Той узкой областью математики, в которой Лузин реализовывал своё педагогическое нововведение, была теория множеств. Ученики Лузина подпали под обаяние теории множеств и стали считать её важнейшим новым направлением в области математики. А это мне кажется совершенно неверным. Теория множеств является и не очень новым, и не очень важным разделом математики. Педагогическое открытие Лузина имеет свою оборотную сторону. Молодые люди, в самом начале занявшиеся научной работой в узкой области математики, часто не могут покинуть её и, достигнув уже зрелого возраста, остаются навсегда узкими специалистами, не владеющими в сущности всей математикой или главнейшими разделами её.

Наиболее сильные, конечно, уходят из неё. К числу этих более сильных принадлежал и Колмогоров. Но на всю жизнь он остался под обаянием теории множеств и её идеологии.

Эту теоретико-множественную идеологию он стал внедрять в среднюю школу, где она совершенно неуместна и вредна, так как отодвигает на задний план изучение важнейших навыков вычислять, владение геометрическими представлениями, т.е. конкретные вещи, важные для дальнейшей трудовой деятельности.

Это теоретико-множественное бедствие постигло преподавание математики в средней школе не только в Советском Союзе. Я знаю о том, что такое же явление произошло во Франции, в Англии, в Соединённых Штатах и, вероятно, во многих других странах. Ведущий французский математик Лере резко выступал против теоретико-множественного засилья в средней школе.

Но были и другие причины. О них я хочу рассказать теперь.

Колмогоров очень охотно берётся за всякую новую организационную работу, но очень быстро она ему надоедает, и он передаёт её другим лицам. Именно это произошло при написании новых учебников. Колмогоров принимал участие в написании новых учебников лишь в очень незначительной степени. Потом он передоверил эту работу другим, малоквалифицированным и недобросовестным лицам, которые создали безграмотные отвратительные учебники. Их Колмогоров, вероятно, даже и не просматривал, и они без всякой проверки и апробирования хлынули в средние школы.

...

Ещё одной чертой колмогоровского характера, которая могла помешать успешному проведению улучшения преподавания, является отсутствие у Колмогорова чувства реальности.

...

Столь же нереалистическая идея, совершенно не учитывающая интересы людей, была высказана Колмогоровым во время войны по поводу опасности, грозящей деревянной части Москвы от немецких зажигательных бомб. Колмогоров считал, что немцы сумеют поджечь всю деревянную Москву, и для предотвращения этого бедствия предлагал сломать все деревянные дома, а жителей переселить в квартиры ранее эвакуированных граждан.

Стоит отметить, что некоторые советские власти и правительство Советского Союза не относилось к человеческим интересам так уж пренебрежительно, даже в мелочах. Например, все забранные на хранение у граждан приёмники были в конце войны возвращены в целости, за исключением небольшой части некоторых марок, которые были разобраны для военных целей.

---

Философ Ильенков (не путать с, прости господи, философом Ильиным!), 80-е:

---

Абстрактное мышление руководствуется
общими словами, зазубренными термина-
ми и фразами и потому в явлениях дейст-
вительности усматривает очень мало: толь-
ко то, что наглядно подтверждает застряв-
шую в голове догму, общее представле-
ние, а часто — и просто эгоистический уз-
кий интерес.

Абстрактное мышление — вовсе не до-
стоинство, как это иногда думают, связывая
с термином наивное представление о вы-
сокой науке как о системе непонятных
«абстракций», парящих в заоблачных вы-
сях.

Наука — если это действительно наука, а
не система квазинаучных терминов и
фраз — есть всегда выражение, отражение
действительных фактов, понятых в их свя-
зи. Это - понимание существа фактов. Наука
вырастает из фактов и только в фактах и
через факты имеет смысл, значение, со-
держание. Таково и мышление математика,
которое, желая похвалить, определяют
словом «абстрактное».

Абстрактен лишь язык математики, но
математик видит реальность под специаль-
но-математическим углом зрения, он мыс-
лит конкретно, как и физик, как и биолог,
как и историк: он рассматривает не абст-
рактные «закорючки», а самую настоящую
действительность — только под особым уг-
лом зрения, в особом аспекте.

Воспитать математика, то есть человека,
умеющего мыслить математически, далеко
не то же, что воспитать у человека умение
считать, вычислять, решать «типовые зада-
чи». Школа же наша ориентируется, увы,
порой на последнее, ибо это проще. А по-
том мы начинаем горевать, что способные
к математическому мышлению люди —
редкость; начинаем искусственно отбирать
их, удивляясь их природной талантливости
и приучая их к отвратительному самомне-
нию, к высокомерию избранных к самолю-
бованию, к обособлению от «бесталанной
черни».

Между тем математика как наука ничуть
не сложнее других наук, которые не ка-
жутся столь таинственно-абстрактными.
В известном смысле математическое мыш-
ление даже проще, легче. Это видно хотя
бы из того, что математические «таланты»
и даже гении развиваются в таком возра-
сте, который в других науках не дает воз-
можности даже просто выйти на передний
край. Математика допускает меньший, бо-
лее простой опыт в отношении окружаю-
щего мира, чем, например, политическая
экономия, биология или ядерная физика —
ведь в этих областях знания «гения» в пят-
надцатилетнем возрасте не встретишь.

Сравнительно малый процент способных
к математическому мышлению людей мы
получаем до сих пор от школы вовсе не
потому, что природа скупа на раздачу ма-
тематических способностей, а совсем по
другой причине — прежде всего потому,
что с первых же дней вбиваем ему в го-
лову такие математические понятия, кото-
рые не помогают, а, наоборот, мешают
увидеть окружающий мир под непривыч-
ным для маленького человека математиче-
ским углом зрения.

Способными в итоге оказываются те де-
ти, которые — по счастливому стечению
обстоятельств — умудряются все-таки, ме-
тафорически выражаясь, выглянуть в окно,
забитое досками неверных представлений.

---

Пойа- "Математическое открытие" (2-е изд)(1976)

---

Преподавание — не наука

Я поделюсь с вами некоторыми своими взглядами на процесс
обучения, искусство преподавания и обучения преподаванию.
Эти взгляды являются результатом многолетнего опыта. Вообще
говоря, высказывание личных взглядов не всегда уместно,— я бы
не рискнул отнимать у вас время, если бы преподавание полностью
регулировалось научными фактами и теориями. Однако на самом
деле это не так. По моему мнению, преподавание не является также
и всего лишь ветвью практической психологии, по крайней мере
в настоящее время.

Преподавание находится в определенной связи с учением.
Экспериментальное и теоретическое исследование процесса изучения
(приобретения новых знаний) является широкой и интенсивно
развивающейся ветвью психологии. Однако сейчас я имею в виду
другое. Мы будем заниматься здесь главным образом сложными
процессами обучения, подобными обучению алгебре или обучению
методике математики, сопряженными с длительными педагогиче-
скими эффектами. Психология же занимается в основном
кратковременными, упрощенными ситуациями и уделяет этому почти
все внимание. Таким образом, психология может подсказать нам
нечто интересное, но это будут лишь намеки на решение
занимающих нас проблем, не претендующие на вынесение окончательного
суждения *).

§ 2. Цель обучения

Мы не можем оценить действия учителя, если не знаем стоящей
перед ним цели. Мы не можем осмысленно обсуждать процесс
обучения, пока не достигнем известного согласия относительно того, что
является целью обучения.
Мне хочется быть более конкретным. Я имею здесь в виду
преподавание математики в объеме курса средней школы и одну
старомодную идею о том, какой должна быть эта цель: прежде всего — и
это бесспорно самое главное — нужно научить молодежь ДУМАТЬ.
Это мое твердое убеждение; вы можете не разделять его
полностью, но я полагаю, что хотя бы частично вы с ним согласны.
Если вы не считаете воспитание мыслительных способностей
первоочередной целью курса математики средней школы, то вы, быть
может, считаете эту цель вторичной — даже и в этом случае у нас
найдется достаточно точек соприкосновения для плодотворности
дальнейших дискуссий.
Лозунг «Учить думать» означает, что учитель математики
должен не только служить источником информации, но обязан также
стараться развивать способности учащихся по использованию этой
информации; он должен развивать у своих учеников умение
думать, относящиеся сюда навыки, определенный склад ума. Эта цель,
возможно, нуждается в более подробном разъяснении (все мои
печатные работы, посвященные вопросам преподавания, могут
рассматриваться как такое разъяснение); здесь, однако, достаточно
подчеркнуть лишь два момента.
Во-первых, размышления, о которых мы здесь говорим,— это
не досужие вымыслы, а «целенаправленные раздумья», или
«волевые раздумья» (Уильям Джеймс *)), или «пр'одуктивные раздумья»
(Макс Вертхеймер **)). Такие «размышления» можно отождествить,
по крайней мере в первом приближении, с «решением задач». И я
считаю, что одна из важнейших целей курса математики в средней
школе заключается в развитии у учащихся умения решать задачи.

Во-вторых, математическое мышление нельзя считать чисто
«формальным» — оно не базируется на одних лишь аксиомах,
определениях и строгих доказательствах, а включает в себя, помимо
этого, и многое другое: обобщение рассмотренных случаев,
применение индукции, использование аналогии, раскрытие или
выделение математического содержания в какой-то конкретной ситуации.

Учитель математики имеет много подходящих случаев познакомить
своих учеников с этими чрезвычайно важными «неформальными»
стадиями мыслительного процесса, и мне кажется, что ему
следовало бы использовать эти случаи шире, много шире, чем он это
делает в настоящее время. Выражая ту же самую мысль в сжатом,
хотя и неполном виде, можно сказать: нужно всеми средствами
обучать искусству доказывать, не забывая при этом также и об
искусстве догадываться.

Преподавание — это искусство
Преподавание — не наука, а искусство. Это мнение
высказывалось столькими людьми и столько раз, что я даже чувствую себя
неловко, повторяя его. Однако если мы оставим довольно избитые
обобщения и перейдем к конкретным деталям, то этот избитый
афоризм позволит нам рельефно осветить некоторые встречающиеся
в нашей профессии приемы.
Преподавание, очевидно, имеет много общего с театральным
искусством. Допустим,-вам нужно продемонстрировать своему
классу доказательство, которое вы отлично знаете, так как много раз
излагали его в прошлые годы, ведя тот же самый предмет. Вас,
конечно, это доказательство уже не может интересовать, но,
пожалуйста, не показывайте этого классу: если класс заметит, что
вам скучно, то сразу станет скучно и всем. Приступая к
доказательству, старайтесь казаться заинтересованным, в ходе
доказательства не упускайте возможности обратить внимание учащихся
на интересные идеи; закончив доказательство, старайтесь казаться
немного удивленным и дайте учащимся возможность заметить ваше
приподнятое настроение. Вы должны давать небольшое
представление в интересах тех учащихся, которым может больше дать ваше
отношение к рассматриваемому вопросу, чем сама его суть.
Должен признаться, что я нахожу удовольствие в таких
сценках, особенно теперь, когда я уже стар и очень редко открываю
в математике что-нибудь новое: мне может доставить маленькое

Временами преподавание может приближаться к поэзии, а
иногда — к цинизму. Позвольте рассказать вам маленькую
историю о великом Эйнштейне. Однажды я присутствовал при беседе
Эйнштейна с группой физиков. «Почему все электроны имеют
одинаковый заряд? — переспросил Эйнштейн.— Ну, хорошо, а
почему все козьи орешки имеют одинаковый размер?» Как мог
позволить себе Эйнштейн так говорить? Только для того, чтобы
шокировать нескольких снобов? Не думаю, чтобы такова была его
цель. Вероятно, основания здесь более глубоки. Я думаю, что
подслушанное мною замечание было не совсем случайно. Как бы там
ни было, для себя я из него кое-что извлек: абстракции хороши,
но используйте все средства, чтобы сделать их более осязаемыми.
Пусть ничто не будет слишком хорошим или слишком плохим,
слишком поэтичным или слишком низменным для того, чтобы
прояснить ваши абстрактные построения. Монтень сказал: «Правда —
настолько великая вещь, что мы не должны пренебрегать ничем,
что ведет к ней». Поэтому, если чутье подсказывает вам, что уместно
предстать перед классом немного поэтом или чуть-чуть циником,—
не отказывайтесь от этого из ложно понимаемой сдержанности.

Три принципа изучения
Преподавание — это ремесло, и как каждое ремесло оно
владеет массой приемов и хитростей. У каждого хорошего учителя
имеются свои приемы, и этим каждый хороший учитель отличается
от любого другого хорошего учителя.
Каждый эффективный прием обучения должен соответствовать
определенному способу изучения. Мы не слишком много знаем
о том, как протекает процесс изучения,— но даже самый грубый
набросок некоторых его очевидных черт может пролить желанный
свет на уловки преподавателя. Позвольте мне представить вам
этот грубый набросок в виде трех «принципов» изучения.
Формулировка их, равно как и выбор этих принципов, принадлежат мне;
однако сами по себе эти принципы никоим образом не новы. Они
многократно формулировались ранее в самых различных видах,
они порождены многовековым опытом, подтверждены суждениями
великих людей и, кроме того, продиктованы исследованием
психологической стороны процесса изучения.
Эти «принципы изучения» могут рассматриваться также и как
«принципы обучения» — последнее является главным аргументом
в пользу того, чтобы разобрать их здесь; однако более подробно я
скажу об этом позже.

1°. Активное изучение. Часто и по-разному говорилось, что
изучение должно быть активным, а не пассивным или рецептивным,
т. е. основанным на одном лишь восприятии; ограничиваясь
чтением книг, слушанием лекций или просмотром кинокартин, не
сопровождаемыми активной деятельностью собственного интеллекта,
вы вряд ли сможете изучить что-нибудь и заведомо не сможете
изучить много.
Существует еще одно часто формулируемое (и близкое к
вышесказанному) мнение: Лучший способ изучить что-либо — это
открыть самому. Лихтенберг (немецкий физик 18-го столетия, более
известный как составитель афоризмов) добавляет сюда интересный
штрих: То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет
в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться,
когда в том возникнет необходимость. Менее красочна, но,
возможно, более широко применима следующая формулировка: Для
того чтобы изучение было наиболее эффективным, учащийся должен
самостоятельно открыть настолько большую часть изучаемого
материала, насколько это в данных обстоятельствах возможно.
В этом заключается принцип активного изучения (Principle
of active learning, Arbeitsprinzip). Этот принцип очень стар, он
лежит в основе идеи «метода Сократа».

Наилучший стимул. Мы говорили, что изучение должно
быть активным; однако учащийся не будет проявлять активности,

если у него для этого нет причины. Он должен быть побуждаем
к умственной активности каким-нибудь стимулом, например
надеждой на получение награды. Однако самым хорошим стимулом для
учения является интерес, который вызывает у учащегося
изучаемый материал, а лучшей наградой за интенсивную умственную
деятельность — наслаждение, доставляемое такой деятельностью.
Если же у нас этого самого лучшего нет — ну что же, тогда нужно
стараться заменить его чем-нибудь хорошим или даже только
достаточно хорошим: не следует забывать и о других стимулах к
изучению, помимо чисто внутренних.
Для эффективности изучения учащийся должен интересоваться
изучаемым материалом, находить удовольствие в самом процессе
изучения. Однако помимо этих самых хороших стимулов к изучению
имеются и другие, часть которых можно считать желательными.
(Наказание за нежелание учиться — возможно, худший из
применяемых методов стимулирования работы учащегося.)
Назовем это утверждение принципом наилучшего стимула.

Последовательность фаз изучения. Начнем с часто
цитируемого изречения Канта: «Всякое человеческое познание начинает
с созерцаний, переходит от них к понятиям и заканчивает идеями».

...

Первая — фаза исследования — наиболее близка к действию и
восприятию и развертывается прежде всего на интуитивном или
эвристическом уровне.
Вторая — фаза формализации,— связанная с созданием
терминологии, определений и доказательств, подымается до более
высокого уровня — уровня понятий.
Третья — фаза усвоения — приходит последней; она отвечает
попытке постичь «внутреннюю суть» проблемы; на этой фазе
изучаемый материал должен быть усвоен учащимся, должен войти
в систему его знаний, расширить его умственный кругозор; эта
фаза прокладывает дорогу к приложениям, с одной стороны, и
к обобщениям на более высоком уровне — с другой.
Подведем итог. Для эффективности процесса изучения фаза
исследования должна предварять фазу словесного оформления и
образования понятий, в заключение же изученный материал должен
влиться в общий запас знаний учащегося, способствуя повышению
его интеллектуального уровня.
Таков принцип последовательных фаз.


Однако здесь надо учитывать одно
необходимое условие: чтобы извлечь пользу из этих принципов,
учитель должен быть знаком с ними не только понаслышке — он
должен их глубоко прочувствовать на основании своего личного
хорошо осмысленного опыта.
1°. Активное изучение. То, что рассказывает учитель в классе,
конечно, важно, но в тысячу раз важнее то, что думают учащиеся.
Идеи должны зарождаться в уме учащихся, роль же учителя в этом
процессе можно сравнить с ролью повивальной бабки.
Это — классическое наставление Сократа; форма обучения,
лучше всего отвечающая ему,— Сократовский диалог. Школьный
учитель имеет определенное преимущество перед преподавателем вуза,
так как он может гораздо шире пользоваться формой диалога.
Но, к сожалению, и в средней школе время, отводимое на
прохождение определенного материала, также строго ограничено, так
что вести весь урок в форме диалога невозможно.

...

Я уверен, что в этом отношении можно сделать гораздо больше,
чем обыкновенно делается. Позвольте мне рекомендовать вам одну
маленькую уловку: предоставьте учащимся возможность
участвовать в составлении задачи, которую им придется решать. Если
ученики внесли свой вклад в постановку задачи, то они будут
гораздо активнее работать над ее решением.

Замечу, что и в работе ученого постановка задачи может
оказаться наиболее ценной частью открытия — очень часто решение
задачи требует меньшего проникновения в суть дела и меньшей
оригинальности мысли, чем ее формулировка. Таким образом, давая
учащимся возможность внести свой вклад в поиски рационального
условия задачи, вы не только побуждаете их работать упорнее,
но и развиваете у них желательный склад ума.

...

Наше владение каким-либо предметом складывается из
накопленных знаний и приобретенных навыков — «умений». Умение
(know-how) *) — это способность использовать накопленные
знания (информацию); конечно, умение невозможно без некоторой
независимости мышления, оригинальности, изобретательности.
Умение в математике — это способность решать задачи, находить
доказательства, критически анализировать доводы, с достаточной
легкостью пользоваться математическим аппаратом, распознавать
математические понятия в конкретных ситуациях.

Каждый согласится, что умение в математике более важно и
даже намного более важно, чем одно лишь знание. Все
требуют, чтобы средняя школа не только снабжала учащихся
математическими знаниями, но и развивала в них умения:
самостоятельность, оригинальность, творческие способности. Однако почти
никто не требует этих прекрасных вещей от учителя математики,—
разве это не парадокс. Официальные рекомендации также хранят
на сей счет молчание. Лица, изучающие математику с целью
получения ученой степени, должны заниматься
научно-исследовательской работой; однако и до получения ученой степени им
предоставляется возможность самостоятельной работы в просеминарах,
научных семинарах или при подготовке диплома. Будущему же
учителю математики такой возможности никто не предоставляет, и
в официальных рекомендациях также не говорится ни слова о
каком бы то ни было виде самостоятельной или
научно-исследовательской работы. Но если учитель сам никогда не занимался
творческой работой какого-либо рода, то как сможет он вдохновлять,
руководить, помогать или даже просто регистрировать творческую
активность своих учеников? Учитель, все математические знания
которого приобретены чисто созерцательным путем, вряд ли сможет
способствовать активному изучению предмета своими учениками.
И вполне возможно, что преподаватель, которому ни разу в жизни
не пришла в голову яркая мысль, сделает выговор проявившему
самостоятельность ученику, вместо того чтобы подбодрить его.
Именно в этом, по-моему, и заключается самый большой пробел
во владении математикой у рядового учителя средней школы —
он не имеет никакого опыта активной математической работы, а
поэтому его нельзя назвать мастером в той области, которой он
обязан обучать школьников.

Я не могу предложить здесь какой-либо панацеи, но могу
поделиться своим опытом. Я устраивал для учителей семинары
по решению задач и неоднократно руководил ими.
Задачи, предлагавшиеся на таких семинарах, не предполагали
никаких дополнительных знаний, выходящих за рамки программы
средней школы, но они требовали довольно высокого уровня
(иногда даже очень высокого уровня) концентрации мысли и
способности к здравому суждению,— и работу учителей над решением
задач вполне можно было назвать «творческой» работой. Я старался
организовывать свои семинары так, чтобы их слушатели могли
использовать, почти не видоизменяя его, тот материал, который
они преподают, чтобы они могли отточить свое мастерство во
владении элементарной математикой; я давал им даже некоторую
возможность попрактиковаться в преподавании (поручая учителям
проведение занятий в небольших группах, составленных из их
коллег).

---

роль же учителя в этом
процессе можно сравнить с ролью повивальной бабки.
Это — классическое наставление Сократа; форма обучения,
лучше всего отвечающая ему,— Сократовский диалог. Школьный
учитель имеет определенное преимущество перед преподавателем вуза,
так как он может гораздо шире пользоваться формой диалога.

 

- ?!! удивительно! впрочем, это своеобразное восприятие вузовского процесса, с упором на потоковые лекции, каковые суть зло